26 de noviembre de 2007

Transformaciones de Moebius



Las transformaciones de Moebius reveladas

Las transformaciones de Muebius se encuentran entre las asociaciones más importantes en geometría, con aplicaciones que van desde las asociaciones cereblales hasta la teoría de la relatividad.

Una transformación de Moebius actúa sobre un plano, enviando cada punto a otro que le corresponda.

Hay cuatro tipos básicos:

1) desplazamientos simples,

2) dilataciones,

3) rotaciones

4) e inversiones, que vuelven el plano "lo de dentro hacia fuera".

Las líneas del plano bien siguen siendo líneas, bien se convierten en círculos. Los ángulos rectos siguen siendo tales.

En general, una transformación de Moebius puede ser una complicada combinación de los cuatro efectos.

La verdadera unicidad de las transformaciones de Moebius nos es revelada cuando nos movemos a la siguiente dimensión.

Siguiendo una pista que nos dió Bernhard Riemann, colocamos una esfera sobre el plano.

[La esfera, de cristal transparente, tiene pintada la cuadrícula de colores en su superficie.]

Una luz en lo alto [de la esfera] brilla a través de la superficie esférica, iluminando el plano.

Conforme la esfera se mueve, los puntos en el plano "le siguen".

Cuando la esfera se desplaza, lo mismo hace el plano.

Elevando la esfera obtenemos dilataciones.

Girando la esfera como una peonza, el plano rota.

La rotación sobre un eje horizontal [rodar] se corresponde con la inversión.

Incluso las transformaciones de Moebius más complicadas pueden ser explicadas como simples movimientos de la esfera.


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